数学の博物館

・コーシー・シュワルツの不等式

・シュワルツの不等式

・ロピタルの定理
x=aを含む開区間で、微分可能な関数f(x),g(x)について

 のとき、

 が存在するならば

・無名の公式（その１）

・ディリクレの定理
a,kを互いに素な自然数とすれば、数列   kn+a （n=1,2,・・・）の中に素数が無限に存在する。

 ・チェビシェフの定理
a>1とすれば、a<p<2aなる素数pが必ず存在する。

・フェルマの小定理
aを素数pで割り切れない整数とすれば

が成り立つ。

・シューアの不等式
a,b,cが正の実数でλが実数ならば

等号はa=b=cのときに限る

・ボーアの不等式
cは正の数でz1,z2が複素数ならば

が成り立つ。等号はz2=cz1の場合にかぎる

・無名の公式（その２）
a,b,α,β＞0でα＋β＝1ならば

等号はa=bのときのみ成立

・レムスの不等式
a,b,cは三角形の辺の長さとする。このとき

が成り立つ。等号はa=b=cのときに限る

・ヘルダーの不等式

のとき以下が成り立つ

・チェビシェフの不等式

または

ならば以下が成り立つ

・ミンコフスキーの不等式

ならば

が成り立つ。等号は

のときにのみ成立する。

・シャピロの不等式

に対して

なお、この不等式はn=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,15,17,19,21,23の時に成立し、それ以外のnでは成り立たない。

・ヤングの不等式

f(x)は[0,c]で連続な単調増加関数でf(0)=0とする。またg(x)はf(x)の逆関数とする。

に対して次の不等式が成り立つ

・Lowner-Heinの定理

定義１：行列Aが正定値行列とは、エルミート行列で固有値がすべて正または0のときで記号でA≧0と書く。

定義2：二つの正定値行列A,BがA－B≧0のときA≧Bと書く。

以下の文章における記号はこれらの定義と同じ意味で使う。

A≧B≧0であれば1≧α≧0なるαに対して

が成り立つ

・吉田の不等式

以下の文章における記号はLowner-Heinの定理のときの定義と同じ意味で使う。

A≧B≧0であればr≧0に対して

が成り立つ。ここでp≧0,q≧1,(1+2r)q≧p+2r

・iのi乗

・カッシーニの公式(フィボナッチ数列)

・無名の式(その3)

・無名の式(その4)